Предварителен изпит по математика - 20 май 2007 (коментари)

[red&white]

а защо ъгъла да е 90градуса ли ами защото синус от 90 е 1ца и тогаз лицето е най голямо и от там сбора на Ам + ЦМ е най голем ама разбирасе тези работи неги написах

[Бeтон]

може би най-добре е първо да се каже че дали ще е от долната или от горната страна на АЦ е еднакво и после да се търси няква формула за лицето на АМЦ, защото АЦ е константа и колкото е по-голямо лицето толкова по-голям ще е АМ+МЦ, и тва лице да се изрази чрез АМ и ъгъла МАЦ, да се ограничи и да се изследва ама ме домързя да го правя тва

Първо какво ще се каже... няма значение. Дали М ще е в едната или другата полуравнина относно АЦ.
За триъгълника изглежда достоверно. Но трябва да докажеш, че при изпъкналите фигури като расте лицето, расте периметъра (не знам дали може наготово да се ползва). АЦ константа и гониш сбора да е най-голям. ОК. Но само не разбрах ъгъла МАЦ. Той може да бъде всичко от [0 ; 90) градуса.

[red&white]

решението на 5та.... НГС на МА+МЦ при ъгъл АМЦ=90 от където следва т.М съвпада с т.Д или с т.Б от където пък следвам МА+МЦ=а+б
... в този му вид приема ли се просто ми се видя прекалено тъпа задачата за да е така и не ми се обясняваше при условие че ме чакаха още 5 задачи

[stonesoul]

И аз го написах по начина с лицето, но не смятам, че може да се ползва наготово.

[mdf]

Добре, няма ли най после да изкочат решенията (или поне отговорите) в публичното пространство?

[Бeтон]

Аз вече казах, няма да подесетвам.

[addictedbg]

Здравейте
значе да попитам за 5-та реших я по следния начин:
разглейдам 4 сл.
1сл) м лежи на АС => ам+мс=sqrt(a^2+b^2)
2сл)м не лежи на АС и е в един от 2-та еднакви триъгълника
АBC или ADC тогава sqrt(a^2+b^2)<am+mc следва от триъгълника AMC но am+mc<а+б понеже М е вътрешна точка за един от 2-та триъгълника
3сл)м принадлежи на контура,но е различна от точка Б или Д тогава е ясно,че е АМ+МС<а+б доказано е
4сл)м съвпада с Б или Д тогава АМ+МС=а+б
от 1,2,3 и 4 следва че максимума е при м съвпадащо с Б или Д и е а+б
Ще се шризнае нали?
Друго за грешка от рода на 4*8=24 (не ми се смейте много)колко точки се отнемат като мисля че го направих на една задача.
9-та си я реших като намерих 81 бонбона и показах че всяко дете е изяло по 9 бонбона и са 9 деца по 9 бонбона
за 10 никва идея нямах и на беловата нищо не писах.Според вас при всичко останало вярно каква оценка се очертава???

[stonesoul]

но am+mc<а+б понеже М е вътрешна точка за един от 2-та триъгълника

Това не зная дали можеш да го използваш така, нещо като с максималното лице е Просто отговорът е очевиден и всеки гледа да нагласи доказателството по някакъв начин.

А за грешката, май и аз съм допуснал подобна на задачата с двете окръжности при определяне на пропорциите, доказателството е варно, ама отговора си е....

[StrongDevil]

Може ли някои да каже коя задача колко точки дава?И примерно 9-та дава ли повече от 3та да кажем?

[addictedbg]

доколкото прочетох някъде всяка задача по 4 точки.и оценката трябва да се формира по следния начи М-броя точки
2+М/10 и това е всяка задача по 0.4 точки.

[altair]

въпроса е как да се докаже , че лицето на триъгълник расте, заедно със сумата от две от страните, ако това се докаже, следва че се търси най-голямо лице при АЦ константа, и тогава се търси най-голямата височина към АЦ, и оттам АЦ е най-голяма когато е от върха Б или Д, иначе просто да кажеш че е очевидно не върви

[stonesoul]

Някой да има идея кога ще излязат резултатите? 10 дена, 20 дена?

[uktc]

Hello.
Според мен темата беше меко казано елементарна, за мое нещастие. Така че очаквам доста високи оценки, а оттам и високи балове за ФМИ. Единствено 10-та беше по-така, на практика се искаше да се докаже очевидното, което е най-трудно.
Е честно, не предполагах, че може да дадат тема без никаква алгебра ... Една производна нямаше. А аз си мислех, че както винаги ще дадат 2 планиметрични, 1 стереометрична и всичко друго алгебра и анализ. Много се изненадах.
Друг е въпроса, че се оаках много много здраво... Към 4.50 очаквам. Излизам и веднага се сещам за решенията на 5 и 8, както винаги. Както и да е, има още 2 изпита.

[altair]

uktc 5-та задача има производни и анализ, ако си я решил по "очевидния" начин считай 0 точки

[uktc]

Лошото е, че изобщо не съм я решил. Иначе ето ти два доста добри начина без производни:



Първо да докажем, че M не е от AC. M не е от AC, защото AM+MC=AC, а за всяка вътрешна точка M ще имаме AM+MC>AC(от неравенство на страните в триъгълник)
Сега да докажем, че М не е вътрешна.


I начин- каза ми го един приятел
Ще разгледаме само случая когато M е в триъгълник ACD. Другият случай се разглежда аналогично.
Нека M е от вътрешността на ACD. Нека AM пресича CD в т. P.
Нека DP=x, CP=a-x, PM=y. От неравенството на страните в триъгълниците АPD и PMC имаме:
b+x>AM+y
y+a-x>MC
Събираме и получаваме AM+MC<a+b. Но при M съвпадащо с D, имаме AM+MC=a+b, значи M не е вътрешна точка, a е някъде по контура
Нека сега М e от CD.
АD+DM>AM. Прибавяме MC към двете страни.
AD+DM+MC>AM+MC
a+b>AM+MC
Значи M не е и от CD.
Аналогично M не е и от AD, значи остава M да съвпада с D. Тогава AM+MC=a+b


II начин- сетих се веднага след като предадох работата си
Забележка: Ако a и b са реални положителни числа и a<b, то a^2<b^2 и обратното.

Нека M е вътрешна за ACD.
През M построяваме права, перпендикулярна на AC.
Ще разгледам случая, когато тази права пресича CD във вътрешна точка, случаят когато пресича AD във вътрешна точка се разглежда аналогично.
Нека тази права пресича CD в P и AC в Q.
Сега от питагоровата теорема
AM^2=AQ^2+MQ^2; MC^2=MQ^2+QC^2
AP^2=AQ^2+PQ^2; PC^2=PQ^2+QC^2.
В случая PQ>MQ.
От забележката-> PQ^2>MQ^2, значи AP^2>AM^2.
От забележката-> AP>AM и PC>MC. Събираме тези неравенства и получаваме
AP+PC>AM+MC.
И това за всяка вътрешна точка M от ACD.
Значи M трябва да е от контура. Аналогично на първия начин доказваме, че М съвпада с D.


Нека някой да напише начина с производни, че ми е чудно как ще стане...