Логически/математически задачи

[Alexander]

Нова: Кога следното твърдението ще е вярно: " Ако махна 1 от 29, ще получа 30"

XXIX без I е XXX.

Ето една хубава задача по ЛА:
Да се докаже, че ако ядрото на едно линейно изображение се състои само от нулевия вектор, то изображението е инективно.

[abstract]

A-лин. изобр. м/у L и L`
Деф: Ker(A) - множеството от елементи пренадлежащи на L който имат изображение в L` като нулев вектор.
(0,0` ще бележа нулевите елементи в L и L`)
От задачата имаме ,че Кеr(А)={0};
По принцип има относителна шаблонност в доказателствата но когато имаме да доказваме единственост почти винаги допускаме противното ... и сега така ще направя:
нека имаме два вектора a от L и b от L;
допускаме че:
(*) а и b са различни вектори и (**) А(a)=A(b) че техните изображения са равни

нека малко уточня дефинията за лин.изобр(ще изпиша двете условия едно изобр. да е лин.)
(1)А(x+y)=A(x)+A(y)
(2)A(h*x)=h*A(x) ,където h е от полето над което действа L и L`

да пристъпим към доказателството
имаме:
A(a)=A(b) / +A(-b)
A(a)+A(-b)=A(b)+A(-b) от усл.(1) => А(a-b)=A(b+(-b)) => A(a-b)=A(0) => a-b=0 =>a=b което е в противоречието на допуснатото (*) => че всеки различен ел. от L се изобразява в различен ел. в L`
но понеже ядрото е само от нулев ел. то никой друг ел. не се изобразява в нулев освен нулевия от което следва че A e инективно изображение.

[Alexander]

Браво!

(Аз бих написал за още по-голяма яснота, че от A(a-b) = A(0) = 0` и KerA = {0} => a-b=0.)

[Cassie]

Радвате ме какви задачки решавате... И на мен само такива задачи ми идваха наум преди изпита (да не говорим че съм имала кошмари с детерминантата на Вандермонт и един оператор, дето насън му намерих ядрото, обаче не можех да намеря дефекта и се пържех мн гадно... )

Както и да е. Някой друг също да дава задачи тук, че само аз поствам.

[abstract]

Cassie, давай задачи

[Methuselah]

Съществува ли пирамида с основа четириъгълник, такава, че 2 срещулежащи околни стени да са едновременно перпендикулярни на равнината на основата?

[abstract]

равнината може ли да се изкривява

[Methuselah]

Не. Нито пък успоредните прави се пресичат в безкрайността

[abstract]

значи двете срещуположни страни нямат пресечни точки ?

[Methuselah]

Ако нямат къде ще е върхът на пирамидата?

[abstract]

ми точно .... от Аксиома 5 на Евклидовата Геометрия - две успоредни прави нямат пресечна точка в безкрайноста .... а една равнина може да я определим от две кръстосани прави(примерно) и те две по две са успоредни със срещуположните ... значи равнините на страните нямат допирна точка ... и би било логично да няма такава пирамида но ..... ?

[Methuselah]

...но това, че две равнини са едновременно перпендикулярни на трета гарантира ли тяхната успоредност?

[abstract]

не ... понеже може равнините да са перпендикулярни на една равнина но ако изрежем един трапец и през срещуполовните му бедра минават равнините перпд. на трапеца те ще се пресекат.
но настрани само че а не нагоре.... а на нас ни трябва връх.

[Kristo]

Съществува ли пирамида с основа четириъгълник, такава, че 2 срещулежащи околни стени да са едновременно перпендикулярни на равнината на основата?

не, защото равнините няма да се пресичат и съответно да имат общи точки, каквато трябва да е върха на пирамидата...

две равнини едновременно перпендикуляри на трета са успоредни помежду си, демек нямат общи точки...

добавка: ако тези равнини се пресичат, то ще е в права перпендикулярна на основата и ето, че стената която трябва да е между тях в пирамидата ще изчезне... демек ще ги имаме пресечени, но условието няма да издържи...

[abstract]

аз бих изложил по-строго доказателство и .... ако равнините на двете страни за перпендикулярни на равнината на основата то те не е задължително да са успоредни може да се пресекат но "настрани" а не нагоре и няма да образуват връх (говорим за равнините на страните а не за страните) . Всеки две прави от срещуположните равнини ще бъдат перпендикулярни на трета права от равнината на основата с изключение на пресечницата ... но тя е извън "пирамидата" значи не ни касае ..... и значи всеки две прави ще са успоредни , ако искаме да си изберем по този начин апотеми на страните то винаги тези апотеми ще са успоредни => че пирамидата няма да има връх => не съществува такава пидамида.